Saturday, 4 August 2012

正規拡大体

まだ、ガロア理論読んでます。3回目ぐらいなはずだが、今だに「あ、そうか」みたいなのが多い。ぼけんたんじゃなかろうか?

体は足し算、掛け算、割り算があるぐらいの意味だけど、体は有理数、代数的な無理数、代数的でない無理数、複素数という風に拡張できる。一方で剰余演算みたいにすると、数字が有限個しかなくなって縮小される。

拡大した時に、有限次元しか大きくならないと有限次拡大なんだけど、そのためには、付け加えた新しい数 αのn乗が、αのn乗以下の多項式になる必要がある。そうでないと、αのn乗が全部基底になるから無限次元になるわけね。

α^n = f(α)
α^n - f(α) = 0

だから、付け加えたαは、元の体の多項式の根でないといけない。体の多項式の根を使った拡大は代数的拡大という。つまり有限次拡大体は、代数的拡大だということ。

πは多項式の根ではないから、πで拡大しても有限次拡大にはならない。√2 は代数的拡大だから、有限次拡大になると。有限次拡大は代数的拡大だってのがわかるのが重要だったみたい。(この辺りは7/3の日記にも書いてるな)

一つの要素αによる有限次拡大はαの高次多項式になるけど、アルファがn次式の根なら、そのn次式で割った余りで考えれば良いと思っても良いらしい。αの詳細(√2 = 1.4142..)とかを知らなくても α^2-2 = 0 を知っていれば良いっていうのが面白い。

正規拡大体は、重根を持たない多項式の根による拡大(分離的拡大)だと簡単に書いてある。根による拡大は有限次拡大だから、基底があって、その基底を入れ替える変換が置換群になるという風に進むのね。

そう考えると、正規拡大体って、方程式に直接結びついている、ある意味、極めて狭い概念なのか。なんとなく、もっと広い概念化と思っていたけど、多項式だと思って良い(しかも重根なし)わけか。

σ(a/b) = σ(a)/σ(b)

とかもなんか新鮮。そんなにうまくいっていいのか的な。(おいおい)

数学の本は、地道に問題解いていかないと、直観が身につかないな。
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