Thursday, 29 March 2012

群論の復習

なんか、定期的にやってるね。「加群十話」とかいう本を発掘したので。加群は要するに可換群なので、x+y = y+x 。

で、加群上に変換f∈Rを入れてR加群とかいうらしいです。Rの基底があって行列表現ですか。はいはい。

   T[V] → Tn[V] → Tm[V] → 0

ってな完全列があってとか。懐かしいといえば懐かしい。ジョルダン標準形の求め方とか。特性行列作って掃き出し法とか。

加群では正規部分群はidなので( -x+a+x = x だから)準同型定理が簡単になるのね。準同型定理は無意識に使うものだとか書いてある。

準同型写像 f で一点に行く値の集合を Kernel と言って、Kernel は正規部分群になって、剰余群を構成するってな話。

なぜか、この辺りは、数学の宮本先生の趣味で中1の時に習ったよ。なんで、そんなことやったのかは不思議。謎です。やるなら、別なゴールがあったような気もするのだが。

準同型定理は、3 で割った余りで整数は三つの集合に分かれるみたいな話なので割と理解しやすい。

ガロア理論は、5以上の対称群が単純群、つまり正規部分群を持たないってことだとか簡単に書いてある。

方程式の解は方程式が (x - α)(x - β)(x - γ) みたいに書けるということだから、αβγの置換で形を変えない。ってことは方程式は対称群の演算について閉じているってこと。

一方で、解がルートや立方根で書けるということは、x + √ y みたいに書けるということだから、x で割った分と √ y で割った分に分かれるってことだから、正規部分群を持つってことなのか。

なので、解が√や立方根で書けると、対称群が正規部分群を持つようになるってことね。なので、5次以上は√や立方根で書けないと。(いろいろ不正確に書いてるけど :-p )

ガロア理論の本だと可解群とか出てくるのでいろいろ大変なんだけど、可解群は正規部分群を持つと言うところが肝だったのか。何べんも読んだ気がするが、どうもわかった気がしなかったんだけど。

「加群十話」は割といい加減に書いてある感じなので、そういうものを見つけるには良い本みたい。

でも、そういう理解とは別に「どうやって可解群のアイデアを思いついたのか」ってのが面白いよね。

前回はこれか?

http://seeker-s-eye.blogspot.jp/2006/10/blog-post_1215.html

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