掛順とは何か

かけ算は累加で足し算の繰り返しだ

それを

(ひとつ分)x(いくつ分)

と書く。つまり

(ひとつ分)を(いくつ分)回足す

ということ。この(ひとつ分)と(いくつ分)の選択には意味があり、入れ替えてはいけないというのが掛順

皿と飴の例は

同じ数(2個ずつ)飴が乗ってる皿が5枚
(ひとつ分2個)x(皿5枚分) 2x5

同じ数(5個ずつ)飴が乗ってる皿が2枚
(ひとつ分5個)x(皿2枚分) 5x2

と区別して書く。皿がいくつ分なわけ

この差は明確だよね。「皿には同じ数ずつの飴がある」これが「同じ数のもの」

かけ算には「同じ数のもの」という性質がある。それは均一性で、こういう状況があるとかけ算/積になる

「同じ数ずつ」が複数あり、その複数を分割すると「同じ数ずつ」という性質は保存される
f(a+b)=f(a)+f(b)
という相加性という性質ね。これは分割法則でもあり、線形性、自然性とも呼ばれる

逆に、c=a+bという分割に対して
f(c)=f(a+b)=f(a)+f(b)
という相加性があると
f(x)=kx
という型になることがわかってる。連続性などと仮定が必要なので、これは自明なことではない。つまり、かなり複雑な定理だ

この時にxを示量変数という。分割できて数字で表される量ね。個数とか体積、長さ

基準の運動量は
1kg m/s
だが、これは1m/s kgでもある
(1kg m/sひとつ分)x(いくつ分)
で測るが、1kg m/s=1m/s kgだ

これは1kg m/sが相加性を持つ時の仮定あるいは性質なわけ

質量と速度には別々な相加性があり

f(m+m)=f(m)+f(m) f(m)=mv
g(v+v)=g(v)+g(v) g(v)=mv

と書ける

f(m+m)=f(m)+f(m) f(m)=mv
これは球の数を増やす累加。球という同じ質量mを持つものを使うと自然な累加になる

g(v+v)=g(v)+g(v) g(v)=mv
これは速度vでの加速。こちらは自然な累加とは異なる。vは計測する

これが運動量のかけ算の掛順ってわけ

f(m)は皿と飴と同じ構造を持ってる

運動量のfとgは明らかに異なる。運動量の問題をちゃんと解いてるなら、それには気がついたはずだ

実はgはトランプ配りになってる。トランプ配りとは何か?

5個ずつ飴の乗ってる2枚の皿の総数を5x2ではなく、2x5で計算することができる

「2枚の皿両方にひとつずつ飴を置く操作」
これをひとつ分とする

すると
(トランプ配りひとつ分)x(個数分)
となる
(皿の上の個数ひとつ分)x(いくつ分)
とは異なる

運動量の速度での累加は
m kgの1kgの質量ごとに1m/s加速する
というトランプ配りを使ったものだ

元の「同じ数ずつ」をひとつ分とする累加、そしてトランプ配りをひとつ分とす累加。これは値は同じになる

a x b = b x a

という交換則ね。交換則は自然な累加とトランプ配りが一致するという法則でもある

これは、まったく自明でない。この時点でアレイ図は出てきてない

a x b と書いても b x a と書いても f(a)だと思うというのが、交換しない交換則

実はg(b)でも良い。掛順は選択する必要がある。fとgは計算手順と意味が異なる

この選択は単位で決まるというのが反順序の誤解、勘違いで、その選択は問題の解法にそって自分で決める

f とgの区別は
(ひとつ分)x(いくつ分)
という構文で決めても良い

f(a+b)=f(a)+f(b)という相加性で決めても良い。あるいは自然言語で説明しても良い

それは「ひとつ分の選択」なわけね。異なる単位のかけ算では必ず選択する必要がある

(m+m)v=m(v+v)
という風に区別する。自然な累加とトランプ配りが等しいという交換則ね

異なる単位のかけ算には自然な累加が必ずある

それは「同じ数ずつの集まり」、均一性がかけ算/積の必要条件だから

非線形な現象でも局所的に考えると線形性になることがある。接平面で積/座標系の意味がある

(基底ひとつ分)x(いくつ分)

が座標系だと考えても良い。つまり、基底の考え方は非対称なかけ算の定義に基づいてる

質点の運動は、質量m、位置q、速度q'から構成されてる

質量は分割がありm=m₁+m₂ というのがありえる

これらの変数は直積/record/構造体であり、その変数は勝手に入れ替えられない

書く順序には依存しない

運動量mq'は、積なので掛順がある
f(m)=mq' m回足す
g(q')=mq' q'回足す

fとgは異なる操作

f(m)は質量による分離
g(v)は加速

これに付属する論理式で記述される性質が他にもある

ロケットの分割の第一段第二段の区別

ロケットの加速の詳細

などね

f とgの区別は

PV=nRT → P(3V)=(3n)RT

では体積/分子の数による累加になる

これは圧力/温度による累加とははっきり異なる

つまり異なる単位の積には掛順がある。その選択は意識して行うってことね