バナハ.タルスキーの逆理とピタゴラスの定理

ばらして組み立てると体積が二倍になるというパラドックス。Marverikのレビューにあったので。



実は証明は見てません。測度がどうとかって奴は苦手。ルベーグ積分も苦手です。計算嫌いだってのが良くわかる。



ばらした部品には体積が定義出来ないってわけだよね。微分不可能な直線には長さは定義できないのと同じだから、それ自体に不思議はない。小学生3年生の頃、



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ってのを縮めていくと、直線になるから、正方形の対角線の長さは辺の二倍だってな話を先生にしたことがあって... (そんなことするから先生に嫌われる...) で、このままだと、直線になってしまうが、縮めていく過程全部を足し合わせると、微分不可能、つまり長さが定義できない直線が出来る。発散しないように足し合わせる方向を注意しないとダメだが。



じゃぁ、なんで、これがダメかって言うと「傾いた直線の長さ」の定義が曖昧だから。その当たりに自由度があるんだってのがわかるのは、非ユークリッド幾何を勉強してから。さっきの話も「傾いた直線の長さ=Δx+Δy」にすれば正しくなる。そして、そういう定義も良く使われる。max(|Δx|,|Δy|)とか。で、そんなことを勉強するとピタゴラスの定理の「証明」ってのがすべて間違っていることがわかる。で、それを先生に授業中に言うと...



じゃぁ、ピタゴラスの定理、あるいは、ユークリッドの距離ってのが、どうして特別なのかってのは、fj で結構議論した。sin/cos の級数展開から導出するなんて無理無理なのを出してた人もいたけどね。僕が気に入っているのは微分を使う奴。



体積の方が面白いのは「相補的なものを足し合わせると有界な体積になる」ってところだな。

　5 = ∞ - ∞

こういう都合良く発散を消して任意の結果を出すってのは、なんか、経路積分とか繰り込み理論とかを想像させる。都合良く結果だけ合わせているだけなんじゃないのか〜