かけ算の定義は、(一つ分)x(いくつ分) 教科書に載ってる。明確に順序がある
交換則の証明は数に対して成立するわけですが、一つ分は数とは限らない。なので
小2のかけ算の定義は、数のそれより広い
そう言われてみれば、教科書には、きらびやかな絵で書いた例がたくさん載ってる。このかけ算は
5個ずつお皿に乗ってるのが3枚
とかを直接扱っているわけ。それは実は
高階関数であって、その変えす値はお皿と飴の構造
だったりする。これは、x=vt や PV=nRT でも言える。そして、それはかけ算の意味なのね。つまり
かけ算は意味を返す高階関数でありえて、それは可換とは限らない
型が違えば可換の意味もないからな。そして、
高階関数の意味には、かけ算の定義にそった凖同型がある
これは便利。
x=vt や PV=nRT の性質は、t や V だけを増やすと、そのまま線形に増える
もちろん、交換法則は、その証明に十分な性質がかけ算の意味にあれば示せる。つまり、
かけ算の対称性はただではなくて証明されるもの
まぁ、当たり前といえば当たり前
原理主義者たちの対称なかけ算は、対称性をちゃんと証明すれば良い。そういうものもある。結局、
原理主義者たちが失う対称なかけ算は、それが証明されるならそのままある
でも、ただでは得られない。そこで、
なんでって僕に言われても、かけ算の定義は変えられません
そこで変えたら、とんでも一直線じゃん。そういう人もいるけどさ
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