凖同型定理

学部の時の阿部先生の代数学の本を見直してたら唐突にできました。

　 Given two groups G and H and a group homomorphism f : G → H,
　 let K be a normal subgroup in G and φ the natural surjective homomorphism G → G/K
　 (where G/K is the quotient group of G by K).
　 If K is a subset of ker(f) then there exists a unique homomorphism h: G/K → H such that f = h∘φ.
　　　 https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_on_homomorphisms
　
　　　　 f
　　　G --→ H
　　　|　 /
　　φ |　/ h
　　　↓ /
　　　G/K

ってだけだが、剰余群 G / K は要するにG要素の分類なので、Gと等号だけが違う群に過ぎない。

なので、 h は結局 f そのものでよい。φ も id でよい。なので、凖同型定理のほとんどは自明。

問題は、hの凖同型写像の条件の一つの

　　aN ≈ bN → f a ≈ f b

だけで、それ以外は f が凖同型写像なことからでる。これは、

　　GK < a ≈ b > → a ∙ b ⁻¹ ∈ N

なので、f (a ∙ b ⁻¹)　≈ ε から、f a ≈ f b だけだった。

代表元がどうこうとか、φ の逆射があるとか、いろいろ寄り道したが、それらはまったく関係なかった。

G / Ker f ≈ H まではやるかも。