Zornの補題の続き

　　全順序部分集合 B には上界 sup B ∈ A があって、∀ x ∈ B → x < sup なら極大元 m ( m < x な x がない) がある

なんですが、

いや、思ったより難航してて... この前の三択はあともう少しだけどだめだった。可算鎖ではやっぱり取りきれない。

1961年の岩波現代数学概説を取り出して読み直したら、

　　非可算上昇鎖と、最大全順序部分集合は別に作る

のね。半順序なので、一点 x ∈ A から
＿
＿/
　　/ \__
　　\_____

みたいに木構造で広がって「枝同士は比較不能」。なので枝を選ぶ必要がある。それには枝を選択する関数 f がいるんだが、

　　x < f x (極大元がない仮定から選択公理で作る無限上昇鎖
　　x ≦ f x (この条件での任意の関数、割り込まれない ( x < z < f x になる z はない

と使い分けるらしい。確かに、上で枝を選択すると最大整列集合は作れない。作るためには別な関数が必要なのか。

　　最大整列集合が作れれば、その sup で、下の f で、sup ≡ f sup となる

で、極大元がないと上の関数が下の条件を満たして sup < f sup と sup ≡ f sup で矛盾がでるので、極大元があるという流れらしい。

最大整列集合の作り方は

　　C0) s < f s < f (f s) < f (f ( f ...
　　C1) 0) の全部よりも大きい x1 < f x1 < f (f x1) < f ( f( ( f ...
:
:

なんだが、可算鎖を飛ばすところが何が書いてあるのかわからなかった。ですが、Zorn の補題の仮定の

　　全順序部分集合 B には上界 sup B ∈ A があって、∀ x ∈ B → x < sup

ってのがあるので、 sup C0 ≡ x1 とすれば良いらしい。つまり、

　　なにか y ∈ A があって、x ≡ f y
　　y < x となる y がなくて、超限帰納法で作ってるその時の整列集合 C にたいして、sub C ≡ x

その二つの条件を満たした x を超限帰納法で足して作っていけば最大整列集合が得られる。

理解できれば、簡潔かつエレガント。いや、

　　現代数学概説、岩波のいつものわけわからないやつ

で苦手だったんですが、「わかってみるとわかる」といういつものパターンだな。文句いってすみませんでした。

まだ少し穴は残ってるが、なんとかなるっぽいです。


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