極大Filter と超Filter

ってのをやってました。まぁ、時間切れっぽいが、Zorn の補題もだいたいできた。

Filter は⊆で順序付けられるLの部分集合の集合で、

　　上方に閉じている(Filterの要素を含む要素はFilterに入っている)
　　二個ずつの∩について閉じている(Filterの要素二つの∩はFilterに入っている)

なんですが、極大は一番大きいやつ、超Filterは p ∈ Power L か補集合 (L \ p ) ∈ Power L のどちらかが入っている、

と思ってて全然できなかったんですが...

　　極大は「任意のFilterよりも大きい」じゃなくて、それを含む真に大きなFilterがないこと
　　Filter の条件に proper ( 空集合は含まない) がある。

ってのにやっと気がついた。

確かに、超Filterを含んでいたそれよりでかないなら、でかい分の p とその補集合の両方が入るから。
p ∩ ( L \ p ) が入るので空集合が入ってしまう。proper に反する。

逆に、Filter は入ってないもの p があったらそれを全部に付け加えればどんどん大きくなるんですが、
proper だとそうならない。 p と ( L \ p ) の両方が入ってない状態なら必ず大きくできるので最大でない。

極大Filter と超Filter が同じなのは proper っていう条件があるからなのがわかりました。