可算モデル

Zornの補題終わったので集合論みなおしてたんですが、01の可算無限列の順序を選択公理を使ったZornの補題で極大フィルターを作ってで証明するんだが、選択公理は整列定理と同値だから、それは仮定そのものだなと思ったり。

で、Power/Unionを見直して、もっと簡単な形で良いことを発見したりしたんですが、

　　可算順序数と Power ωは両立しないよな

とか考えて困ってたんですが、そもそも集合論の可算モデルって何? ってことに。レーベンハイムスコーレムで可算集合に落とすんですが...

Mが可算モデルってのは、集合論のモデル、つまり公理を満たすことを証明する時に使う値に番号を付けるみたいなものだなと。

対角線論法でも、確かに Power ωから可算個対応させて、ほら別にもう一個あるでしょで、Power ωの中の可算個しか使ってない。

Mが含まれてるZF全体の集合のごく一部がMに入っていて、Mがモデルみたいな面をしているだけなのね。

Mは可算だから、Mの中の順序数に対応するものは可算順序数になっていて、その中で Power ωは、やせほそった可算集合でしかない。

でも、それはその中のωよりは大きい。そういうことか。